NÚMERO PI

DATA: 09/03/2022 - Na Geometria, ramo da Matemática que estuda as formas, os tamanhos e as posições das figuras no espaço, o Círculo é uma figura na qual o conjunto dos pontos que a formam estão a um distância de um mesmo ponto fixo, que o Centro, menor ou igual a um determinado valor, que é o Raio (r). Podemos dizer também que o Círculo é a figura formada por todos os pontos do plano que são internos a uma determinada Circunferência.

CIRCUNFERÊNCIA

Mas o que define uma Circunferência? A Circunferência é o conjunto dos pontos, de um determinado plano, que estão todos a mesma distância, que é o Raio, de um determinado ponto fixo, que é o Centro.

Por exemplo, quando desenhamos um círculo com um compasso, o quanto abrimos as partes do compasso é o Raio, a ponta fixa do compasso é o Centro e o risco que o grafite produz no papel é a Circunferência do círculo.

Para calcularmos o tamanho da Circunferência (C) usamos a fórmula matemática a seguir.

Mas e a constante chamada de Pi (π), o que seria? O π (pi) é um número constante (ou seja, que não se altera) e irracional (ou seja, um número real que não pode ser obtido com a divisão de dois números inteiros), sendo π (pi) especificamente o resultado da relação entre o Perímetro (p) e o Diâmetro (d) (p/d) de qualquer círculo.

Ou seja, o resultado da divisão entre o Perímetro e o Diâmetro de qualquer círculo sempre será igual ao valor de π (pi), que é aproximadamente 3,14, não importando o tamanho dos círculos, seja ele a roda de uma bicicleta ou a roda gigante de um parque de diversões.

PERÍMETRO

Do que trata o Perímetro (p) de um Círculo? O perímetro é a medida da borda de qualquer objeto no plano, no caso dos círculos, o perímetro recebe um nome especial, que nós já conhecemos, que é a Circunferência.

DIÂMETRO

O que é o Diâmetro (d) de um Círculo? O diâmetro de um círculo é qualquer reta que toque a sua borda (a circunferência) em 2 (dois) pontos e que, por sua vez, passe obrigatoriamente pelo centro desse círculo. Esta reta divide o círculo em 2 (duas) partes iguais.

Uma vez que o Raio (r) de um círculo é qualquer reta que saia de seu centro e toque a sua borda (Circunferência), o Diâmetro (d) equivale ao dobro do Raio (r) de um círculo. Conforme a demonstração abaixo.

Conhecendo os conceitos de Perímetro e Diâmetro, voltemos ao Número π (Pi). Tomemos como base um círculo cujo raio é 1 (uma) unidade de medida, neste caso, seu Perímetro (p) dividido pelo seu Diâmetro (d) é aproximadamente 3,14, que é π (pi). Veja na figura abaixo esta demonstração.

O uso da letra grega π (pi), para representar este número, vem da palavra grega περίμετρος, que significa perímetro, acreditasse que usada primeiramente pelo matemático, William Jones, em 1706, e que depois teve seu uso popularizado pelo matemático, Leonhard Euler. Esta constante pode ser encontrada também com outros nomes como "constante circular" ou "número de Ludolph" (matemático alemão que trabalhou no século VI no aperfeiçoamento do cálculo de π).

MÉTODO CLÁSSICO

Existem inúmeros meios de se chegar ao número π, através de cálculos que envolvem aproximações, aproximações sucessivas, séries infinitas de somas, multiplicações e divisões.

Mas existe um Método Clássico, que é mais simples de ser compreendido e é considerado a primeira tentativa de encontrar esta constante de forma mais precisa, e ele é de autoria de um dos mais conhecidos matemáticos da Antiguidade, Arquimedes.

Arquimedes, por volta do século III a.C., desenhou polígonos regulares, figuras onde todos os seus lados e ângulos (internos e externos) possuem o mesmo tamanho, que estavam inscritos (dentro) e circunscritos (fora) de um mesmo círculo, sendo que, os perímetros desses polígonos eram conhecidos por ele. Conforme no exemplo da figura abaixo.

Podemos observar que a medida que o número de lados vão aumentando, mais o perímetro das figuras inscritas e circunscritas se aproximam do perímetro do círculo, estando o valor do perímetro do círculo entre um e outro valor.

Por exemplo, se em nossa figura acima, o Círculo tivesse um Diâmetro de 01 (uma) unidade de medida, e nos soubéssemos os Perímetros das Figuras Inscritas e Circunscritas, teríamos a tabela a seguir:

Observe que a Média Simples entre os Perímetros das Figuras (Inscritas e Circunscritas), corresponde ao valor aproximado da Circunferência do Círculo, no caso do Quadrado seria um valor próximo a 3,41, no caso do Pentágono seria próximo a 3,28, do Hexágono seria próximo a 3,23, do Octógono seria próximo a 3,19, vemos que a cada vez em que aumentamos o número de lados das figuras, mais nos aproximamos de π, que sabemos ser aproximadamente 3,14.

Arquimedes desenhou então um polígono com 96 lados e encontrou que π, seria um valor próximo a 3,1418. Mais tarde, no século III d.C., Ptolomeu, no Egito, utilizou o mesmo método, com um polígono de 720 lados, e calculou que π era aproximadamente 3,1416.

Já em 2020, o norte-americano, Timothy Mullican, conseguiu encontrar a forma mais acurada do número π, com 50 trilhões de dígitos, com ajuda de diversas ferramentas matemáticas e de computadores, o cálculo demorou 8 (oito) meses para ser realizado. Segue pequeno exemplo, do número π, até a 300ª (tricentésima) casa decimal.

ÁREA DO CÍRCULO

Outra expressão matemática onde podemos encontra o número π é na Área do Círculo (A), demonstrada a seguir.

Levando em conta que sabemos como calcular a Área de diversas figuras planas, vamos tentar transformar um círculo em uma figura plana conhecida, conforme demonstrado abaixo:

Observe que o Círculo foi dividido em 8 (oito) setores circulares, ou setores de círculo, popularmente conhecidos como "fatias de pizza", e as fatias foram organizadas de modo a formar uma figura, cuja a Área conhecemos, no caso um retângulo, cuja Área é Largura (L) x Comprimento (C).

Podemos ver que nesse nosso retângulo, construído com partes do círculo, a Largura é aproximadamente metade da Circunferência e o Comprimento é o Raio. Sendo assim temos que:

SETOR CIRCULAR

Falamos acima sobre uma parte do círculo que é o Setor Circular (ou setor de círculo, ou ainda, fatia de pizza), mas, por definição, do que se trata? O Setor Circular é a parte, de um círculo, delimitada por 2 (dois) raios e 1 (um) pedaço da Circunferência, que recebe o nome de Arco.

Ao ângulo formado entre estes 2 raios, que limitam o setor circular, se dá o nome de Ângulo Central (θ), conforme o tamanho desse ângulo central o setor recebe um nome específico, por exemplo, se o ângulo central for de 180º este setor recebe o nome de Metade, se for de 90º, recebe o nome de Quadrante, agora se for de 45º recebe o nome de Oitante.

Para se calcular a Área desse Setor de Círculo, ou o Comprimento desse Arco, usamos como base as fórmulas já estabelecidas para o círculo completo e o conceito de proporcionalidade, tendo em vista que sabemos a medida do Ângulo Central de um Círculo completo, que é de 360º.

Temos então que, a Área do Setor Circular (A) está para o Ângulo Central (θ) assim como a Área do Círculo está para 360º, desse modo temos: